张景中院士：点几何纲要

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1

引 言

用坐标法处理几何问题，好处是便于使用比较有章可循的代数方法。但用坐标表示几何点，写起来和看起来都要复杂些，直观性也变差，且代数方法在计算过程中很难看出几何意义。于是，莱布尼兹提出一个问题———能否直接对几何对象作计算？^[1]

向量几何的出现，可以看作是对莱布尼兹提出的这一问题的初步回答。沿着这一方向，数学家们开辟了“几何代数”的领域，做了深入的研究，这方面近期的代表性工作是李洪波关于共形几何代数的出色成果^[2]。

为了克服向量几何的某些缺点并保持其优势，著名数理逻辑学家莫绍揆提出了更具物理意义的质点几何的理论和方法^[3]，类似的研究还有杨学枝提出的点量^[4]。这些研究丰富了几何代数的理论和方法，其概念、记号和运算形式更直观更简单，更容易学习掌握。

本文引入的“点几何”，力图用更简明更平常的概念和符号、借助代数运算的形式来描述几何对象之间的关系。“点几何”保持了质点几何简易直观的好处，需要的预备知识更少，对运算条件的限制更少，但适用的范围更为广泛。

2

点加点和数乘点

以下用大写拉丁字母表示点，小写希腊字母或拉丁字母表示实数。

初中就讲了数轴，进一步讲了直角坐标系，把点和数或数组对应起来。这时自然出现一个问题：数能够相加，点能相加吗？

在数轴上，若A=2,B=5,C=7,能不能说A+B=C 呢?

初看好像没错，细想有问题：如果把原点向右移动一个单位，则A=1,B=4,C=6,这时A+B=C 就不成立了。

但如果A=2,B=4,C=6,则有等式A-B=BC,即A+C=2B。对这种情形，无论如何移动原点，总有A+C=2B———这个等式描述了“B 是线段AC中点”的几何事实，它与坐标无关。

一般说来，把点的坐标之间的线性等式关系表示为点之间的同样关系时，所得到的等式有两类：一类在坐标变换下保持不变，另一类则会改变。显然，在坐标变换下保持不变的等式，其特点是等式两端系数之和相等。在质点几何或点量的研究中，只讨论这类等式关系。

但是，当A=2,B=5,C=7,等式A+B=C 毕竟描述了一个数学事实，如果在讨论问题的过程中不改变原点，它总是对的。

进一步思考，等式A+B=C 实际上描述了包括原点O 在内的4个点之间的几何关系，即A+B=C+O，其几何意义是“两线段AB､OC 中点重合”。质点几何认为它的缺点是依赖原点，不是坐标变换下的不变式，因而不承认它也不讨论它。

如果从另一个角度看，等式A+B=C 用3个字母描述了4个点之间的关系，是不是也有可资利用的优点呢？

部分地基于上述思考，引入平面点几何的下列基本运算：

(2)一般说来，P是直线OF上的点。

注 尽管等式uA+vB=(u+v)F 所描述的几何事实与质点几何中相同，但uA、vB 和(u+v)F 等项在这里的意义和质点几何中却不一样：在质点几何中，当u≠1时，uA 和A 是位置相同但被赋予了不同质量的点；而在点几何中，若u≠1且A 非原点时，它们是位置不同的两个点。

例如，等式2A+3B=5F 的几何意义如图2所示，图中C=2A,D=3B,且E=5F,而OCED 是平行四边形。也可以说，若在平行四边形CODE 中连接CO 的中点A 和OD 的三分点B 的线段AB 与对角线OE 交于F，则OE=5OF，且2AF=3FB。可见，同一个等式在点几何中的几何意义更为丰富。

性质5 两线相交uA+vB=rC+sD 的表示：

(1)当u+v=r+s≠0时,令(u+v)F=uA+vB=rC+sD=(r+s)G,则等式表示F=G 为直线AB､CD 之交点(这和质点几何一样);

(2)一般情形表示O､G､F 共线;

(3)特别地,若D 为原点,AB､CD 交于F 可表示为(u+v)F=uA+vB=rC，这里r是任意非零实数。点几何的好处在于，用含义简明的少量符号比较忠实地描绘几何事实，从而减少人的思维劳动。对此，下面的例子可见一斑。

例1 求证:三角形ABC 的三条中线AM ､BN､CP 共点(图3).

证 取A 为原点,令G 为BN､CP 交点,由条件得B=2P,C=2N,则2M=B+C=2P+C=2N+B=3G,

注 此题是一个简单的平面几何问题,但用向量方法解答,常见资料所述方法颇繁。

3

点的数量积

通常,积是乘的结果,而乘法是指对加法有分配律的运算。对点几何中的加法而言,有分配律的运算不止一个,最基本的是内积。

定义3 数量积:若在笛卡尔坐标系中,A=(x,y)，B=(u,v)，则定义

A•B=ux+vy。

可见两点的数量积是与坐标原点有关的一个实数。

根据点的数量积定义,显然有

性质6 A•B=B•A，且数量积对加法有分配律。容易验证

4

点的外积

4.1 两点的外积

定义4 两点的外积：约定两点A、B的外积为AB=B-A。

可见两点的外积就是两点之差，也就是个向量。

这似乎有点奇怪，为何把差叫做积？难道仅仅是为了节省一个减号？

进一步探讨两点外积的运算规律，就会发现这样定义的好处。

根据定义，显然有

性质8 AB=-BA

性质9 若uA+vB=(u+v)C，则有

uAP+vBP=(u+v)CP,uPA+vPB=(u+v)PC。

这两个等式的正确性可以按定义展开验证。

这可以看作是外积对加法的分配律按此规律，等式uA+vB=(u+v)C两端同用B做外积，则得uAB=(u+v)CB；同用C做外积,则得uAC+vBC=0，即uAC=vCB。

但是一般来说，当等式两端系数之和不等时，分配律不一定成立，而要添加一个修正项。

性质10 若uA+vB=rC，因原点O坐标为零，故uA+vB=rC+(u+v-r)O，这时可以用分配律，注意到P=OP=-PO，得

uAP+vBP=rCP+(u+v-r)P，

uPA+vPB=rPC-(u+v-r)P。

这两个等式的正确性也可以按定义展开验证。

这也可以看作是外积对加法的分配律的推广：

当u+v=r时，得到性质9；作为特款，还可得：

(1)若A=rC，则AP=rCP+(1-r)P且PA=rPC-(1-r)P;

(2)若uA=rC，则uAP=rCP+(u-r)P且uPA=rPC-(u-r)P。

注 上述运算律可以推广到多项之和的情形，仍用下列思路处理：两端系数和相等时直接使用分配律，否者加上一个原点项平衡两端系数之和，再用分配律。

4.2 三点的外积

定义5 三点的外积：三点A､B､C 的外积，记作ABC，它就是ΔABC 的带号面积。

由定义,不难推得

性质11 ABC=BCA =CAB = -ACB =-BAC=-CBA。

其直观的几何意义是:在右手坐标系中,三角形三顶点A､B､C顺序为反时针方向则ABC>0，否者ABC<0；若A､B､C 共线则ABC=0。

等式的正确性可以直接验证。也就是说，当等式两端系数之和相等时，三点外积满足分配律。

注 当问题中涉及较多可变参数时，使用共边定理有助于减少参数个数，简化计算，详见后面例8的证法3。

性质13 若uA+vB=rC,原点为O，则有

uAPQ+vBPQ=rCPQ+(u+v-r)OPQ。

也就是说，等式两端系数之和不相等时，可以加上一个原点项平衡两端系数之和，再用分配律一个有用的特款是：若原点在直线PQ 上，则附加的配平项为0，相当于分配律成立。

例8 在ΔABC的三边上分别取点P､Q､R使BP=PC,CQ=2QA,AR=3RB.三线AP､BQ､CR构成ΔLMN，如图9所示，求ΔLMN 的面积

解 取A为原点,则由条件得(1)B+C=2P,(2)C=3Q,(3)3B=4R。

(2)代入(1)得2P=B+3Q=4N,(3)代入(1)得6P=4R+3C=7M,(3)×2换位加(2)得C+8R=3Q+6B=9L,将L､M､N表为A､B､C的组合并配平系数得

9L=3Q+6B=C+6B=2A+6B+C,

7M=4R+3C=3B+3C=A+3B+3C,

4N=B+3Q=B+C=2A+B+C。

将三式作外积并略去零值项，得

252LMN=6ABC+6ACB+6BAC+36BCA+CAB+6CBA=25ABC，下略。

例9(Pappus定理) 设A､B､C共线,D､E､F共线,直线AE､BD交于P,AF､CD交于Q,CE､BF交于R,则P､Q､R 共线,如图10

证法1 取P为原点,设(1)E=uA,B=vD,(2)rA+(1-r)B=C,(3)sD+(1-s)E=F

为得到交点Q 和R 的表示，取待定参数t和x，

作(2)×t+(3)得：

(4)trA+t(1-r)B+sD+(1-s)E=tC+F；

作(2)×x+(3)得：

(5)xrA+x(1-r)B+sD+(1-s)E=xC+F；

用(1),在(4)中消去B 和E,在(5)中消去A 和D,分别得

(6)trA+tv(1-r)D+sD+u(1-s)A=tC+F;

用(1)(2)(3)将(8)和(9)的左端分别都表成A和D 的组合得:

(10)u²(1-s)A-xuv(1-r)D=(xr+u-us-xu)R;

(11)trA-sD=(tr+u(1-s)-1)Q;

证法2 取P为原点,设(1)E=uA,B=vD,(2)rA+(u-1)B=(r+u-1)C,(3)mD+(1-v)E=(m+1-v)F(这样设置是经过试算后,知道进一步计算能够实现系数平衡)。

作(2)+(3)并用(1)消去B､E得:

(4)rA+(u-1)vD+mD+(1-v)uA=(r+u-1)C+(m+1-v)F;

整理重组得到交点Q 的表示:

(5)(r+u-uv)A+(v-m-1)F=(r+u-1)C+(v-uv-m)D=(r+u+v-m-uv-1)Q;

用(1)(3)将(5)中的A 替换为B､F,用(1)(2)将(5)中的D 替换为C､E 得:

注 上述证法1是常规方法，较繁；证法2略用技巧，简单些，但很难看出其几何意义。若使用面积计算，则可得较为简洁且直观的证法。

5

复数乘点

用复数与点相乘有助简化涉及角度的问题。

定义6 虚数i乘点：若在笛卡尔坐标系中A=(x,y),则定义iA=(-y,x)，此处字母i为保留专用符号。

从几何上看，iA 是A反时针旋转90°得到的点，显然有

性质14 i(iA)=-A。

做内积时有

性质15 iA•A=0。

性质16 当B=(u,v)时，有

iA•B=(-y,x)•(u,v)=vx-uy=-A•iB

定义7 复数乘点：若在笛卡尔坐标系中A=(x,y)而复数α=u+vi,则定义αA=uA+i(vA)，显然有αA=uA+v(iA)。

在平面上取定了笛卡尔坐标系，可以建立点到复数集的一一对应。具体地，若A=(x,y)，则令f(A)=x+yi，而其逆映射为p(x+yi)=(x,y)=A，于是有p(f(A))=A和f(p(x+yi))=x+yi这样把平面上的点与复数对应后，容易检验上面定义的点与复数的乘法与复数之间的乘法是一致的。也就是说，若在笛卡尔坐标系中A=(x,y)而复数α=u+vi，则必有αA=p(αf(A))。

事实上，按复数乘点的定义有

αA=uA+v(iA)=(ux,uy)+v(-y,x)

=(ux-vy,uy+vx)；

而将点A=(x,y)写成复数与α=u+vi相乘后再化为坐标，则为

p(αf(A))=p((u+vi)(x+yi))

    =p(ux-vy+(uy+vx)i)

       =(ux-vy,uy+vx)，

两者结果相等.由此可得：

下面利用ASA公式证明莫勒定理

例10(莫勒定理)在ΔABC中,P､Q､R分别为三内角中两角的三分线的交点如图12所示,则ΔPQR为正三角形。

注 上述证法是直接计算。用同一法，计算要简单一些。

证法2 注 上述证法是直接计算.用同一法,计算要

简单一些.

证法2 用同一法:设ΔPQR为正三角形;若能构造出ΔABC,使得P､Q､R分别为三内角中两角的三分线的交点如图12,则命题真。

则有∠RAQ=α,∠PBR=β,∠PCQ=γ,∠ARB=π-α-β。

要证明∠RAB=∠QAC=α,∠RBA=∠PBC=β,∠PCB=∠QCA=γ

只要证明∠RAB=α 和∠RBA=β 即可，其它同理。

6

结 语

本文先后介绍了点加点、数乘点、点的数量积、点的外积及复数乘点等点几何中的基本概念，导出了近20条有关点运算的基本性质或基本公式，这些构成了点几何的基本纲要。相关的定义、性质、公式和具体解题实例说明，点几何不仅符合数学直观，能更方便地表达基本几何事实，而且有助于几何推理的简捷化。

参考文献：

[1] I•M•Yaglom.Felix Klein and Sophus Lie(The evolution of the idea of symmetry in the 19th century)[M].Birkhuser,1990,ISBN:9780817633165

[2] 李洪波.共形几何代数—几何代数的新理论和计算框架[J].计算机辅助设计与图形学学报,2005,17(11):2383-2393.

[3] 莫绍揆.质点几何学[M].重庆:重庆出版社,1992.9.

[4] 杨学枝.浅谈点量[J].中国初等数学研究.2017.No.8:123-139

感谢张景中院士，摘自高等数学研究！

文章选自：教育数学在线。更多优更多优质资源可关注公众号后查看历史消息，妙解之慧由陕西西安孙冰钰质资源可关注公众号后查看历史消息，妙解之慧由陕西西安孙冰钰老师创建专注分享初，高中数学优质资源，旨在：让全国各地的师生都能享受到同等优质的教育资源。平台所选文章贵在分享，公益传播，尊重原创，所选文章会注明作者姓名，来源，如不当，请文末添加微信联系处理，如转载，请注明来源。本平台：妙解之慧（ID:WanZhuanShuXue1）诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿，与数学有关的内容都可以。来稿请注明姓名或者网名、工作单位，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。文稿可发在QQ邮箱[e-mail]或添加文末微信直接发给我，感谢各位朋友的鼓励与支持。

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